Perkembangan jaman selalu diiringi dengan perkembangan sains dan teknologi. Perkembangan sains dan teknologi berfungsi untuk memudahkan dan menyelesaikan problematika kehidupan manusia. Perkembangan sains dan teknologi tidak bisa dilepaskan dari matematika sebagai ilmu alat. Salah satu permasalahan yang sering menggunakan matematika adalah masalah optimalisasi, baik itu mencakup maksimalisasi atau minimalisasi sesuai dengan masalah yang dihadapi. Pada artikel ini disajikan salah satu konsep dalam matematika yang mengkaji masalah maksimalisasi atau minimalisasi, yang dikenal dengan dimensi metrik pada graf. Teori graf merupakan konsep yang mengkaji suatu struktur yang terdiri atas titik dan garis, dimana garis menyatakan hubungan antar dua titik.
Konsep dimensi metrik pada graf terus dikembangkan menjadi konsep dimensi metrik komplemen. Jika dimensi metrik membahas tentang himpunan dengan kardinalitas minimal dengan sifat setiap titik pada graf dikenali secara berbeda oleh himpunan tersebut, maka dimensi metrik komplemen membahas tentang himpunan dengan kardinalitas maksimal dengan sifat terdapat dua titik yang mengenali himpunan tersebut secara sama. Dua konsep ini merupakan dua konsep yang saling berkebalikan, kendati begitu keduanya sama sama memiliki peran untuk menyelesaikan permasalahan yang berbeda pula.
Dalam artikel ini disajikan dimensi metrik komplemen pada graf hasil operasi comb. Graf hasil operasi comb diperoleh dari dua graf, dengan menggandakan graf kedua sebanyak titik pada graf pertama, dan menempelkan titik tertentu pada graf kedua di masing masing titik pada graf pertama. Oleh karena itu graf hasil operasi comb secara umum berbeda jika graf yang dioperasikan posisinya ditukar. Graf yang dilibatkan dalam operasi comb adalah graf lengkap, graf lintasan dan graf bintang. Graf lengkap adalah graf yang setiap dua titiknya membentuk garis, graf lintasan adalah graf semua titiknya membentuk garis dengan dua titik yang lain, kecuali dua titik yang hanya membentuk garis dengan satu titik saja. Sedangkan graf bintang adalah graf yang memuat tepat satu titik yang membentuk garis dengan semua titik yang lain dan titik lainnya hanya bertetangga dengan dirinya.
Dari pengamatan yang dapat dibuktikan secara matematika, pada sebarang graf berlaku bahwa dimensi metrik komplemen maksimal pada suatu graf adalah banyaknya titik dikurangi dua. Hasil yang diperoleh dari penelitian selama ini adalah dimensi metrik komplemen graf hasil operasi comb dari graf lengkap dengan graf lengkap adalah banyak titik pada graf lengkap yang pertama dikurangi satu dikalikan dengan banyaknya titik pada graf lengkap yang kedua ditambah dimensi metrik komplemen graf lengkap yang kedua. Sedangkan dimensi metrik komplemen graf hasil operasi comb dari graf lintasan sebagai graf pertama dengan graf bintang adalah sebagai graf kedua adalah banyaknya titik pada graf lintasan dikurangi satu dikalikan dengan banyaknya titik pada graf bintang ditambah dimensi metrik komplemen graf bintang. Dari dua hasil tersebut, diperoleh pola bahwa jika graf kedua yang dioperasikan memiliki dimensi metrik komplemen maksimal, maka dimensi metrik komplemen lokal graf hasil operasi combnya adalah banyaknya titik pada graf pertama dikurangi satu dikalikan dengan banyaknya titik pada graf kedua ditambah dimensi metrik komplemen lokal graf kedua.
Sebagai ilustrasi penggunaan konsep dimensi metrik komplemen adalah salah satunya dalam permasalahan suatu proyek. Misalkan terdapat suatu proyek yang melibatkan tim kerja yang terdiri dari pemimpin proyek dan pekerja. Agar proyek berjalan lancar dari awal hingga akhir, perlu disiapkan minimal dua kandidat pemimpin proyek. Hal tersebut bertujuan untuk mengantisipasi jika nantinya salah satu pemimpin proyek berhalangan, maka dengan mudah bisa digantikan pemimpin lain. Para kandidat pemimpin ini hendaknya mempunyai pandangan yang sama atau mengenal terhadap tim yang dipimpinnya, dalam artian mengetahui bidang keahlian. Karena dua calon pemimpin memiliki pandangan yang sama terhadap tim yang dipimpin maka kebijakan yang diambil oleh pemimpin pengganti tidak akan berbeda dari pemimpin sebelumnya, sehingga proyek tersebut akan tetap berjalan dengan lancar walaupun ada pergantian pemimpin proyek. Dalam konsep ini, seluruh tim digambarkan dengan titik dalam graf. Apabila anggota tim saling mengenal maka titiknya saling bertetangga. Para pekerja digambarkan dengan himpunan pembeda komplemen dan dua orang calon pemimpin digambarkan dengan dua titik yang memiliki representasi yang sama terhadap himpunan pembeda komplemen.
Penulis: Siti Zahidah, S.Si., M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
Artikel lengkap dengan judul: “On Comb Product Graphs with Respect to the Complement Metric Dimension” Dapat diakses melalui laman: https://aip.scitation.org/doi/pdf/10.1063/5.0042618
