Operator integral fraksional, merupakan salah satu contoh operator integral, sudah dipelajari sejak awal abad ke 20. Secara teoretis, operator ini (di ruang Euklid dimensi tiga) merupakan solusi persamaan Poisson (merupakan salah satu contoh persamaan differensial parsial). Aplikasi persamaan Poisson banyak sekali ditemukan diberbagai bidang, semisal mekanika fluida dan kelistrikan. Salah satu studi penting tentang operator adalah terkait keterbatasannya. Dalam bidang keilmuan Analisis Fungsional, pengertian operator terbatas ekivalen dengan pengertian operator kontinu. Dalam hal ini, yang dimaksud operator (linier) adalah fungsi yang menghubungkan dua ruang (vektor) bernorma.
Integral fraksional, terutama terkait keterbatasannya, sepanjang awal abad ke 21, telah berhasil diperumum, dimulai dengan perumuman kernel operator maupun keterbatasannya dalam ruang fungsi yang merupakan perumuman ruang Lebesgue, telah berhasil diperumum oleh Nakai (2001), Eridani (2003) Eridani dan Gunawan (2004), Eridani, Meshki dan Kokilashvili (2007). Selanjutnya, perumuman integral fraksional di atas, telah berhasil diperumum, baik bentuk kernelnya, maupun sifat keterbatasannya, oleh Mehmood, Eridani dan Fatmawati (2022).
Detil perumumannya, meliputi bentuk dan norma kernelnya, yang mempengaruhi konstanta dalam ketaksamaan yang menyatakan keterbatasan operator tersebut. Lebih jauh, dimulai dengan ruang fungsi yang merupakan salah satu contoh ruang bernorma sebagai daerah asal dan daerah hasil operator yang dimaksud, diperumum menjadi ruang Lebesgue dengan ukuran yang berbeda. Kita cari sifat elementer ruang ukurannya, agar ketaksamaan yang diinginkan masih tetap berlaku. Hasil ini, sekaligus memperumum ketaksamaan Young yang sudah ada, menjadi ketaksamaan Young tapi dengan ukuran yang berbeda. Pada akhirnya, ketaksamaan Young (terbaru) telah berhasil pula diperluas keberlakuannya dalam ruang fungsi yang lebih luas daripada ruang Lebesgue, yaitu ruang Morrey. Hasil terakhir ini terinspirasi dari Eridani, Meshki, Kokilashvili (2007).
Penulis: Dr. Eridani, M.Si
Informasi detail dari riset ini dapat dilihat pada tulisan kami di:
https://www.hindawi.com/journals/ijmms/2022/4672957/
Authors: Saba Mehmood, Eridani, Fatmawati.
Title: A Note about Young’s Inequality with Different Measures.
