Tercapainya kesejahteraan masyarakat merupakan tujuan dari pengurusan negara terhadap rakyatnya. Sudah selayaknya berbagai upaya dilakukan untuk mewujudkannya, tidak terkecuali dengan melibatkan para intelektual dalam aktifitas penelitiannya. Salah satu aspek yang dapat mempengaruhi kesejahteraan masyarakat adalah terpenuhinya kebutuhan pokok komunal masyarakat, yang meliputi Pendidikan, kesehatan dan keamanan.

Pemilihan tempat strategis untuk pelayanan publik merupakan topik pembahasan yang menarik, karena dengannya layanan publik dapat diakses secara optimal oleh masyarakat. Matematika sebagai salah satu alat, dapat digunakan untuk mendukung berbagai aspek keilmuan, untuk mendukung tercapainya kesejateraan rakyat, salah satunya adalah teori graf. Teori graf sebagai salah satu bagian dari matematika, menyajikan suatu hubungan antar obyek yang disebut titik dan hubungan antar dua titiknya disebut garis. Dengan menyajikan peta suatu wilayah dalam bentuk graf, yaitu dengan memandang suatu daerah sebagai titik dan garis sebagai jalan yang menghubungkan dua daerah, maka teori graf dapat digunakan untuk menentukan tempat strategis layanan publik. Konsep untuk mengkaji ini disebut dengan himpunan sentral. Penggabungan konsep himpunan sentral dengan pembeda disebut himpunan pembeda sentral, yang kardinalitas minimumnya disebut dengan dimensi metrik sentral.

Pada artikel ini dikaji dimensi metrik sentral graf hasil operasi kali akar, yang merupakan kajian di level teoritis. Penelitian ini merupakan penelitian lanjutan dari hasil sebelumnya, yaitu dimensi metrik sentral pada graf hasil operasi korona sisi. Graf hasil kali akar antara graf terhubung berordo dan barisan graf terhubung  dinotasikan dengan   Graf khusus yang dilibatkan pada penelitian ini adalah graf lengkap, graf siklus, dan graf bintang.  Penelitian dimulai dengan melakukan beberapa observasi pada graf hasil operasi akar, yang meliputi himpunan sentral, radius dan jarak antar titik pada graf hasil kali akar. Observasi didukung dengan contoh yang memudahkan pembaca untuk memahami observasi.

Hasil utama pada penelitian ini adalah dimensi metrik sentral graf hasil kali akar, yang disajikan dalam beberapa teorema. Diawali dengan pemilihan  sebagai barisan graf siklus dan  adalah sebarang graf terhubung berordo , diperoleh hasil bahwa dimensi metrik dari graf  dipengaruhi oleh kardinalitas himpunan sentral graf . Sedangkan untuk  sebagai barisan graf lengkap, diperoleh hasil bahwa dimensi metrik dari graf  dipengaruhi oleh kardinalitas himpunan sentral graf  saja, untuk sebarang graf terhubung  Hasil selanjutnya adalah untuk graf terhubung sebarang  berordo  dan  adalah barisan graf bintang, maka diperoleh hasil, bahwa dimensi metrik dari graf  dipengaruhi apakah titik akar dari setiap  merupakan anggota basis  atau bukan.

Dari hasil kerja ini, belum ditemukan teorema nilai dimensi metrik  untuk sebarang graf terhubung  berordo  dan sebarang barisan graf terhubung . Dari hasil kerja di atas, disajikan conjecture atau dugaan kuat bahwa untuk sebarang graf terhubung  berordo  dan sebarang barisan graf terhubung , nilai dimensi metrik            dipengaruhi apakah titik akar dari setiap  merupakan anggota basis  atau bukan. Oleh karena itu, penelitian ini berpotensi untuk dikembangkan lebih lanjut.

Pada bagian akhir, disajikan kesimpulan dan diberikan saran pengembangan, yaitu membuktikan kebenaran conjecture dan implementasi konsep dimensi metrik sentral pada permasalahan penentuan tempat strategis untuk pelayanan publik.  Beberapa istilah dan penjelasan lebih detil, serta pembuktian teorema secara matematis, dapat dilihat langsung pada artikel terkait, yang terbit di Jurnal Internasional STATISTICS, OPTIMIZATION AND INFORMATION COMPUTING terindeks scopus Q2, yang dapat diakses secara terbuka pada link yang dituliskan di bawah ini.

Penulis: Prof. Dr. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
Artikel lengkap dengan judul:

Dapat diakses melalui laman: http://www.iapress.org/index.php/soic/article/view/2156/1203