Salah satu peran besar matematika dalam dunia kehidupan adalah untuk menemukan solusi yang optimal atau terbaik dari permasalahan yang dihadapi. Solusi optimal ini dapat berupa permasalahan maksimum, minimum, terdekat, terjauh, atau yang lainnya sesuai dengan problem yang dihadapinya. Untuk kasus yang bersifat diskrit, matematika dapat menjawab permasalahan optimalisasi melalui teori graf. Teori graf adalah teori yang dapat menyajikan suatu permasalahan dalam bentuk titik dan garis, dimana titik menyatakan obyek yang dibahas, sedangkan garis menyatakan hubungan antar obyek.
Konsep pada teori graf yang mempunyai peran penting untuk optimalisasi adalah konsep titik sentral dan himpunan pembeda lokal. Titik sentral adalah titik yang mempunyai jarak relatif terdekat dengan semua titik yang lain pada graf tersebut. Secara umum titik sentral suatu graf tidak tunggal. Semua titik sentral pada graf dihimpun dalam suatu himpunan yang disebut dengan himpunan sentral. Sedangkan himpunan pembeda lokal merupakan himpunan titik pada graf yang dapat mendeteksi atau mengenali setiap dua titik yang membentuk garis pada graf tersebut secara berbeda. Himpunan pembeda lokal ini mengenali setiap dua titik yang membentuk garis dengan menggunakan konsep representasi terhadap himpunan pembeda lokal ini. Representasi titik terhadap suatu himpunan merupakan pasangan terurut yang elemen elemennya merupakan jarak titik tersebut terhadap setiap titik pada himpunan tersebut. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda lokal suatu graf disebut dimensi metrik lokal.
Artikel ini memperkenalkan konsep baru, yang disebut dengan dimensi metrik lokal sentral, yaitu konsep yang merupakan gabungan antara dimensi metrik lokal dan himpunan sentral. Suatu himpunan disebut himpunan pembeda lokal sentral jika himpunan tersebut merupakan himpunan pembeda lokal yang memuat himpunan sentral. Setelah konsep himpunan pembeda lokal sentral dikonstruksi, dengan pengamatan mendalam dan dibuktikan secara matematis, diperoleh karakter suatu graf yang mempunyai dimensi metrik sentral lokal tertentu dikaitkan dengan diameter dan radus grafnya. Dalam artikel ini juga berhasil ditemukan batas bawah dan batas atas dari dimensi metrik lokal sentral suatu graf.
Graf-graf yang berhasil ditemukan nilai dimensi metrik lokal sentralnya dalam artikel inin adalah graf lengkap, graf bipartite lengkap, graf siklus, graf roda, perumuman graf roda, dan pohon. Untuk graf pohon, sebelum ditemukan teorema dimensi metrik lokal sentralnya, terlebih dulu disajikan rumusan himpunan sentralnya. Untuk graf pohon, didukung dengan contoh untuk mempermudah pembaca memahami teorema yang dimaksud. Sebagai konsekuensi logis dari graf pohon, disajikan beberapa hasil untuk graf lintasan dan graf bintang.
Hasil lebih lanjut adalah ditemukannya dimensi metrik lokal sentral untuk graf jala. Graf jala adalah graf yang merupakan hasil kali kartesian dua graf lintasan. Langkah kerja pertama yang dilakukan untuk mendapatkan dimensi metrik lokal sentral graf jala adalah melakukan observasi dari sifat dua titik yang membentuk garis, diameter, dan dimensi metrik lokal pada graf jala. Langkah kerja kedua adalah menentukan himpunan sentral dari graf jala. Himpunan sentral dari graf jala dibagi menjadi empat kasus, dengan melihat ordo dari masing-masing graf lintasan yang dioperasikan, apakah gasal atau genap. Langkap ketiga adalah menentukan dimensi metrik lokal sentral dari graf jala, yang dibagi dalam tiga kasus dilihat dari ordo dari graf lintasan yang dioperasikan, apakah gasal atau genap. Sebagai bagian akhir, disajikan dimensi metrik lokal sentral dari graf tangga, karena graf tangga merupakan bentuk khusus dari graf jala.
Pada bagian kesimpulan, diberikan saran pengembangan, yaitu, karena konsep dimensi metrik lokal sentral adalah konsep yang baru, maka mempunyai peluang besar untuk dikembangkan dan dimplementasikan pada graf lain atau graf hasil operasi yang lain. Penjelasan lebih detil dan penyajian pembuktiannya secara matematika, dapat dilihat langsung pada artikel terkait, sepeti yang dituliskan di bawah ini.
Penulis: Dr. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
Artikel lengkap dengan judul:
“A central local metric dimension on acyclic and grid graph”
Dapat diakses melalui laman:
https://www.aimspress.com/article/doi/10.3934/math.20231085?viewType=HTML
