Saat ini banyak perkembangan penelitian dalam matematika murni yang mengkaitkan teori graf dan teori grup. Teori graf merupakan konsep yang mengkaji suatu struktur yang terdiri atas titik dan garis, dimana garis menyatakan hubungan antar dua titik. Sedangkan teori grup merupakan konsep yang mengkaji suatu struktur himpunan yang dilengkapi dengan operasi biner. Dapat dilihat bahwa teori grup merupakan konsep yang terlalu abstrak jika dibandingkan dengan teori grup yang sifatnya diskrit. Oleh sebab itu tujuan mengkaitkan dua konsep ini adalah untuk melihat lebih mudah sifat-sifat suatu grup yang direpresentasikan dalam sebuah graf. Beberapa graf yang merepresentasikan grup berhingga antara lain graf commuting, non-commuting, coprime, non-coprime, normal, non-normal, cyclic, non-cyclic, conjugate, dsb.
Graf noncommuting sendiri mengalami perkembangan antara lain graf g-noncommuting dan graf twin noncommuting. Graf g-noncommuting dari suatu grup adalah graf dengan himpunan titiknya merupakan elemen grup dan dua titik bertetangga di graf jika dua elemen tersebut komutatornya bukan g. Sedangkan untuk graf twin noncommuting dibangun dengan mempertimbangkan titik-titik kembar sebagai satu titik dan keterhubungan antar titiknya ditentukan oleh keterhubungannya pada graf noncommuting.
Artikel ini memperkenalkan konsep baru yaitu graf twin g-noncommuting yang merupakan kombinasi dua konsep yang telah ada sebelumnya. Satu titik pada graf twin g-noncommuting merepresentasikan himpunan titik-titik twin pada graf g-noncommuting dan keterhubungan titiknya bergantung pada ketehubungan titik di graf g-noncommuting. Selain itu, artikel ini juga menyajikan sifat-sifat graf twin g-noncommuting dari suatu grup berhingga secara umum. Selanjutnya menyajikan konstruksi bentuk graf twin g-noncommuting dari grup dihedral dan disajikan pula bilangan cliquenya. Grup dihedral merupakan grup berhingga tidak komutatif yang dibangun oleh dua elemen dengan sifat khusus. Sedangkan bilangan clique adalah kardinalitas dari himpunan titik subgraf lengkap dari graf semula.
Berdasarkan pengamatan yang telah dibuktikan secara matematis, graf twin g-noncommuting dari grup berhingga merupakan graf unik dengan satu titik dominan. Bentuk graf twin g-noncommuting dari grup dihedral bergantung pada banyaknya anggota dari grup yang dipilih. Bentuk clique terbesar graf twin g-noncommuting dari grup dihedral tidak tunggal namun berpola yang bergantung dari banyak anggota grup yang dipilih.
Penulis: Siti Zahidah, M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
Artikel lengkap dengan judul:
“Twin g noncommuting graph of a finite group”
Dapat diakses melalui laman: https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/09728600.2022.2146548
