Index Wiener dikenalkan pertama kali oleh Harry Weiner pada tahun 1947 yang berkaitan dengan alat bantu dalam pembahasan tentang konsep kimia, yaitu struktur unsur kimia. Dengan memandang atom sebagai titik dan ikatan antar dua atom sebagai garis, maka pada struktur kimia dapat disajikan sebagai graf. Pada graf dapat didefinisikan jarak antar dua titik dan Index Wiener membahas tentang jumlah jarak antar setiap dua titik pada graf. Nilai Index Wiener dibagi dengan total banyaknya pasangan setiap dua titik disebut dengan rata-rata jarak pada graf tersebut.

Suatu graf  didefinisikan sebagai himpunan berhingga tak kosong  yang anggotanya disebut titik, beserta himpunan  yang anggotanya merupakan pasangan tak terurut dua titik yang berbeda dari  yang disebut garis. Banyaknya titik pada graf disebut dengan ordo suatu graf, sedangkan banyak garis pada graf disebut dengan ukuran suatu graf. Pada graf dikenal derajat suatu titik, yaitu banyaknya titik yang membentuk garis dengan titik tersebut. Derajat titik terkecil pada suatu graf disebut dengan derajat minimum suatu graf, sedangkan derajat titik terbesar pada suatu graf disebut dengan derajat maksimum suatu graf. Siklus pada graf adalah barisan bergantian titik dan garis yang diawali dan diakhiri titik yang sama. Banyaknya garis pada siklus disebut dengan panjangnya siklus. Panjang siklus minimum pada graf disebut dengan girth (ketebalan) dari graf tersebut. Beberapa penelitian tentang Index Wiener telah banyak diteliti, salah satunya adalah nilai Index Wiener dikaitkan dengan derajat minimum dan ordo suatu graf, yang ditemukan oleh Kouider dan Winkler. Sedangkan Alochukwu dan Dankelmann meneliti Index Wiener yang dikaitkan dengan nilai derajat maksimal suatu graf.

Pada penelitian ini diteliti nilai Index Wiener dikaitkan dengan ketebalan, derajat minimum dan derajat maksimum suatu graf. Hasil penelitian ini merujuk pada hasil penelitian yang diperoleh pada dua penelitian di atas, yaitu penelitian ynag ditemukan oleh Kouider dan Winkler serta penelitian Alochukwu dan Dankelmann.  Kedua hasil penelitian di atas menyajikan batas bawah nilai rata-rata jarak pada suatu graf dengan derajat minimum dan maksimum suatu graf. Hasil pertama yang diperoleh pada penelitian ini adalah batas bawah nilai Index Wiener dengan ketebalan graf gasal. Hasil awal yang diperoleh adalah batas bawah nilai rata-rata jarak pada graf. Karena rata-rata jarak berkorelasi dengan Index Wiener, maka dari hasil ini juga ditemukan batas bawah Index Wiener dari suatu graf dengan ketebalan gasal. Hasil ini didukung dengan menyajikan contoh yang memenuhi kondisi ini.  Hasil kedua adalah batas bawah nilai Index Wiener dengan ketebalan graf genap. Hasil kedua juga disertai dengan contoh graf yang memenuhi kondisi hasil kedua. Hasil terakhir penelitian ini adalah ditemukan batas bawah yang tajam untuk ketebalan gasal dan genap. Hasil terakhir juga ditunjang dengan contoh yang dapat memudahkan pembaca untuk memahami hasil.

Hasil lengkap beserta bukti dan contoh pada penelitian ini dapat dilihat secara lengkap pada artikel berjudul”Wiener index in graphs given girth, minimum, and maximum degrees” sebagaimana yang disajikan di bagian bawah naskah ini, beserta alamat laman untuk mengakses artikelnya.

Penulis: Dr. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
Artikel lengkap dengan judul:

“Wiener index in graphs given girth, minimum, and maximum degrees”

Dapat diakses melalui laman: https://digitalcommons.georgiasouthern.edu/tag/vol10/iss2/3/