Perkembangan sains dan teknologi yang pesat, seiring dengan semakin kompleksnya problematika yang dihadapi umat manusia. Peran berbagai bidang ilmu untuk menyelesaikannya sangat dibutuhkan. Matematika sebagai salah satu ilmu alat, juga memiliki peran penting, utamanya dalam permasalahan optimalisasi. Salah satu teori dalam matematika yang dapat memecahkan permasalahan optimalisasi adalah teori graf.

Teori graf merupakan konsep matematika yang bersifat diskrit. Sehingga permasalahan optimalisasi, yaitu masalah  masalah maksimal atau minimal yang dapat diselesaikan dengan teori graf hanya masalah yang bersifat diskrit. Lebih lanjut, masalah diskrit yang dapat diselesaikan dengan teori graf adalah yang dapat disajikan dalam titik dan garis, dimana titik pada graf menyajikan obyek yang sedang dikaji, sedangkan garis menyatakan hubungan antar obyek. Salah satu konsep teori graf yang disajikan dalam artikel ini adalah berkaitan dengan pewarnaan dan pelabelan pada graf. Konsep pewarnaan pada graf dapat dikenakan pada titik, garis ataupun pada keduanya. Demikian juga untuk pelabelan pada graf dapat dikenakan pada titik, garis atau keduanya. Jika pewarnaan atau pelabelan dikenakan pada titik disebut perwarnaan atau pelabelan titik, jika dikenakan pada garis dinamakan pewarnaan atau pelabelan garis, dan jika pewarnaan dikenakan pada titik dan garis sekaligus disebut pewarnaan atau pelabelan total. Dalam artikel ini yang digunakan adalah kajian pewarnaan dan pelabelan total. Penggabungan dua konsep pewarnaan dan pelabelan disebut dengan pewarnaan pelangi. Pewarnaan pelangi ada dua, yaitu pewarnaan pelangi ajaib dan antiajaib. Sedangkan yang dibahas dalam artikel ini adalah pewarnaan pelangi antiajaib.

Pewarnaan pelangi adalah pewarnaan yang dikenakan pada setiap dua titik pada graf, sehingga setiap dua titik pada graf dihubungkan dengan lintasan yang titik-titiknya berbeda warna atau label, kecuali pada titik-titik ujungnya dan setiap garis pada lintasan tersebut berbeda warna. Pewarnaan atau pelabelan pada graf diberi simbul bilangan. Jika label pada lintasan pelangi membentuk barisan aritmetika, maka disebut pewarnaan antiajaib pelangi. Dalam penelitian ini dihasilkan bilangan pewarnaan antajaib pelangi pada graf hasil operasi comb. Operasi comb pada dua graf terhubung   dan  yang dinotasikan dengan , adalah graf yang diperoleh dengan mengambil graf  dan graf  sebanyak titik pada graf , dan menempelkan setiap titik ke- pada  dengan satu titik, katakanlah titik  pada setiap kopian ke- dari graf  Untuk mempermudah pembaca dalam memahami, pada artikel ini disajikan contoh graf hasil operasi comb.

Dalam artikel ini dikaji bilangan pewarnaan antiajaib pelangi pada graf hasil operasi comb pada graf pohon dan graf bipartite lengkap. Untuk mendukung hasil riset, terlebih dulu disajikan sifat dan teorema terkait pewarnaan pelangi antiajaib dari graf pohon dan graf bipartite lengkap secara terpisah. Terkait jenis graf yang digunakan dalam artikel ini juga disajikan definisinya. Lebih lanjut, untuk mendapatkan pewarnaan pelangi antiajaib dari graf hasil operasi comb, dilakukan dengan mengkonstruksi fungsi untuk mendapatkan pewarnaan pelangi antiajaib dari graf hasil operasi comb dari graf  dan  Banyaknya warna minimal yang diperlukan untuk mendapatkan pewarnaan pelangi antiajaib ini disebut bilangan keterhubungan pelangi antiajaib. Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini disajikan dalam bentuk teorema yang dibuktikan secara rinci. Dukungan contoh untuk mempermudah memahami pembuktian juga disajikan di setiap hasil yang diperoleh.

Nilai eksak dari bilangan keterhubungan antiajaib pelangi, mulai dari konstruksi fungsinya, hingga detil pembuktiannya dapat dilihat secara lengkap pada artikel  sebagaimana yang disajikan di bagian bawah naskah ini, beserta alamat laman untuk mengakses artikelnya.

Hasil dari penelitian ini masih terbuka luas untuk dikembangkan untuk operasi comb dari graf-graf yang lain. Harapan lebih lanjut adalah dapat ditemukan rumusan umum untuk operasi comb untuk sebarang graf.

Penulis: Dr. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
Artikel lengkap dengan judul:

“On the study of rainbow antimagic connection number of comb product of tree and complete bipartite graph”

Dapat diakses melalui laman: https://www.worldscientific.com/doi/epdf/10.1142/S1793830923500982