Pengamanan pengiriman berkas rahasia merupakan bagian penting dalam proses pemindahan data. Salah satu teori pengamanan pengiriman berkas atau data, dikaji dalam bidang matematika. Salah satu contohnya adalah berkas perolehan suara dalam pemilu, merupakan perkara yang penting untuk memastikan keamanan dan kerahasiaannya. Pengawalan keamanan dalam pengiriman berkas ke posko tempat pencoblosan, harus melibatkan wakil dari berbagai partai peserta pemilu dan aparat keamanan. Untuk efisiensi dan efektifitas, diperlukan perhitungan minimal banyaknya pengawal, sehingga dari satu posko ke posko yang lain, tim pengawal dari perwakilan partai tidak boleh berasal dari partai yang sama. Salah satu teori dalam matematika yang dapat memecahkan permasalahan ini adalah konsep pada teori graf, yaitu pelabelan dan pewarnaan Pelangi.

Konsep di atas dapat disajikan dalam teori graf dengan mekanisme sebagai berikut. Posko atau tempat pencoblosan dinyatakan sebagai titik sedangkan jalan yang menghubungkan antar posko dinyatakan dalam garis. Konsep pewarnaan pada graf dapat dikenakan pada titik, garis ataupun pada keduanya. Jika pewarnaan dikenakan pada titik disebut perwarnaan titik, jika dikenakan pada garis dinamakan pewarnaan garis, dan jika pewarnaan dikenakan pada titik dan garis sekaligus disebut pewarnaan total. Dalam artikel ini yang digunakan adalah kajian pewarnaan total.

Pewarnaan pelangi adalah pewarnaan yang dikenakan pada setiap dua titik pada graf, sehingga setiap dua titik pada graf dihubungkan dengan lintasan yang titik-titiknya berbeda warna atau label, kecuali pada titik-titik ujungnya dan setiap garis pada lintasan tersebut berbeda warna. Pewarnaan atau pelabelan pada graf diberi simbul bilangan. Jika label pada lintasan pelangi membentuk barisan aritmetika, maka disebut pewarnaan antiajaib pelangi. Dalam penelitian ini dihasilkan bilangan pewarnaan antajaib Pelangi pada graf hasil operasi join. Operasi join pada dua graf  dan  yang dinotasikan  adalah graf baru yang diperoleh dari graf  dan graf  ditambah dengan garis yang menghubungkan setiap titik pada graf  ke semua titik di graf . Hasil yang diperoleh dalam penelitian adalah bilangan pewarnaan Pelangi dari beberapa jenis graf dengan graf trivial, yaitu graf yang hanya mempunyai satu titik. Beberapa jenis graf yang dioperasikan tersebut antara graf lintasan, bintang, kipas, dan bintang ganda. Sebelum dioperasikan join, beberapa jenis graf ini digandakan lertebih dulu dengan bilangan asli. Secara notasi, teorema yang dihasilkan dikenakan pada graf hasil operasi join , ,  , dan .

Pembuktian dari masing-masing hasil disajikan secara detil dan mengalur sesuai dengan logika matematika. Lebih lanjut pada artikel ini juga diberikan contoh pada setiap kasusnya. Nilai eksak dari bilangan pewarnaan  antiajaib Pelangi beserta pembuktian dari setiap teorema, dapat dilihat secara lengkap pada artikel sebagaimana yang disajikan di bagian bawah naskah ini, beserta alamat laman untuk mengakses artikelnya.

Pada artikel ini hanya disajikan bilangan pewarnaan  antiajaib Pelangi pada graf hasil operasi join beberapa jenis graf dengan graf trivial. Nilai eksak untuk graf selain garf trivial belum bisa ditemukan dalam artikel ini, sehingga masih ada peluang untuk menindaklanjuti penelitian ini. Penelitian dapat dilanjutkan untuk menemukan bilangan pewarnaan  antiajaib Pelangi pada graf hasil operasi join dengan graf selain graf trivial.

Penulis: Dr. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
Artikel lengkap dengan judul:

“ On Rainbow Antimagic Coloring of Join Product of Graphs”

Dapat diakses melalui laman: https://ejournal.uin-malang.ac.id/index.php/Math/article/view/17471/pdf