Merupakan perkara penting untuk menjadikan segala sesuatu menjadi efektif dan efisien. Karena dengan efektifitas dan efisiensi, dapat menekan biaya, waktu, dan tenaga. Efektiftas dan efisiensi inilah yang merupakan keunggulan peran matematika dalam kehidupan. Salah satu bagian dari matematika ini adalah menentukan suatu himpunan pembeda dalam suatu struktur graf, dimana graf merupakan suatu himpunan tak kosong yang anggotanya disebut titik bersama dengan himpunan pasangan tak terurut dua titik yang berbeda yang disebut sisi.
Konsep himpunan pembeda komplemen lokal merupakan konsep baru sebagai lanjutan dari konsep himpunan pembeda komplemen. Motivasi munculnya konsep himpunan pembeda komplemen pada graf adalah untuk menemukan suatu himpunan yang menyebabkan terdapat dua titik berbeda yang mempunyai representasi yang sama terhadap himpunan tersebut. Sedangkan pada himpunan pembeda komplemen lokal, disyaratkan dua titik yang mempunyai representasi yang sama tersebut, harus membentuk sisi. Himpunan pembeda komplemen maupun himpunan pembeda komplemen lokal yang paling efektif adalah yang kardinalitasnya maksimal, yang secara berturut turut disebut dengan basis komplemen dan basis komplemen lokal. Kardinalitas basis komplemen disebut dimensi metrik komplemen, sedangkan kardinalitas basis komplemen lokal disebut dimensi metrik komplemen lokal.
Setelah konsep himpunan pembeda komplemen lokal dikonstruksi, dengan pengamatan mendalam dan dibuktikan secara matematis, diperoleh karakter suatu graf yang mempunyai dimensi metrik komplemen lokal nol dan satu. Hasil ini diperoleh setelah menemukan dimensi metrik komplemen lokal pada bebarapa graf khusus, antara lain graf siklus, lengkap dan bipartite. Graf siklus adalah graf yang berbentuk satu siklus, graf lengkap adalah graf yang setiap dua titiknya membentuk sisi, sedangkan graf bipartite adalah graf yang himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi dua himpunan dan sisi-sisinya menghubungkan dua titik di partisi yang berbeda. Untuk membuktikan dimensi metrik komplemen lokal graf-graf khusus tersebut, terlebih dulu digali beberapa sifat himpunan pembeda komplemen lokal. Lebih lanjut, konsep dimensi metrik komplemen lokal diimplementasikan pada graf hasil operasi korona. Operasi korona dikenakan pada dua graf, yang hasilnya merupakan graf baru dengan himpunan titiknya adalah gabungan dari himpunan titik graf pertama dan himpunan titik graf kedua yang digandakan sebanyak himpunan titik graf pertama. Himpunan sisinya adalah gabungan dari himpunan sisi graf pertama dan himpunan sisi dari graf kedua yang digandakan sebanyak himpunan titik graf pertama beserta himpunan sisi yang menghubungkan titik pada graf kedua dengan titik pada graf pertama sesuai posisi penggandaannya.
Untuk menemukan dimensi metrik komplemen lokal graf hasil operasi korona, beberapa langkah awal yang diperlukan antara lain mengobservasi sifat jarak sebarang dua titik pada graf korona, menentukan dimensi metrik komplemen lokal graf hasil operasi join antara graf trivial yaitu graf yang hanya terdiri atas satu titik dengan graf siklus, lintasan, lengkap dan graf bintang. Terdapat lima hasil besar yang diperoleh, yaitu dimensi metrik komplemen lokal, yang pertama dari graf hasil operasi korona graf umum dengan graf lintasan, kedua graf hasil operasi korona graf umum dengan graf siklus, ketiga graf hasil operasi korona graf umum dengan graf lengkap, dan keempat graf hasil operasi korona graf umum dengan graf bintang. Untuk tiga hasil pertama, dimensi metrik komplemen lokal graf hasil operasi koronanya dipengaruhi oleh dimensi metrik komplemen lokal graf hasil operasi join dari graf trivial dengan masing-masing graf khususnya, sedangkan untuk graf korona dari graf umum dengan graf bintang tidak dipengaruhi oleh dimensi metrik komplemen lokal dari operasi join dari graf trivial dengan dengan graf bintang. Empat hasil di atas menghantarkan pada hasil kelima, yaitu dimensi metrik komplemen lokal graf hasil operasi korona dari dua graf umum, yang tentunya dengan memberi syarat pada graf kedua, sehingga hasil dimensi metrik komplemen lokalnya bergantung dengan dimensi metrik komplemen lokal graf hasil operasi join antara graf trivial dengan graf kedua. Secara umum, hasil kelima mempunyai bentuk seperti yang diperoleh pada tiga hasil pertama.
Hasil penelitian ini juga memberi peluang untuk dikembangkan lebih lanjut, yaitu diiplementasikan pada graf hasil operasi lain, yaitu operasi kartesian, operasi amalgamasi, korona sisi, dan operasi comb. Penjelasan lebih detil dan penyajian secara matematika, dapat dilihat langsung pada artikel terkai, sepeti yang dituliskan di bawah ini.
Penulis: Dr. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si.
Artikel lengkap dengan judul:
“The local complement metric dimension of graphs” Dapat diakses melalui laman:
https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S1793830922500732
