Teori graf sebagai bagian dari matematika diskrit, merupakan teori yang dapat digunakan untuk mengkaji permasalahan yang dapat direpresentasikan sebagai titik dan garis, dimana garis menyatakan hubungan antar dua titik. Jika dua titik pada graf membentuk garis, maka kedua titik tersebut dikatakan bertetangga.
Dimensi metrik dominan merupakan gabungan antara konsep dimensi merik dan himpunan dominasi pada graf. Dimensi metrik melibatkan konsep perbandingan jarak antar dua titik, oleh karena itu dimensi metrik didefinisikan pada graf terhubung. Misalkan adalah graf terhubung dengan himpunan titik dan himpunan sisi , maka ordo graf adalah banyaknya titik pada graf atau . Misalkan merupakan himpunan terurut subset dari , dan kardinalitas adalah . Representasi titik di terhadap himpunan dinotasikan dengan adalah pasangan terurut elemen yang berisi jarak titik ke setiap titik anggota secara berturutan. Himpunan terurut disebut himpunan pembeda dari jika setiap dua titik pada mempunyai representasi yang berbeda terhadap Himpunan disebut himpunan dominasi jika untuk setiap titik di bertetangga dengan minimal satu titik di . Himpuan pembeda disebut himpunan pembeda dominasi jika juga memuat himpunan dominasi. Himpunan pembeda dominasi dengan kardinalitas minimum disebut dengan basis dominan dari graf dan kardinalitasnya disebut dimensi metrik dominan graf yang dinotasikan dengan
Pada graf dikenal beberapa operasi, antara lain operasi perkalian, penjumlahan, operasi korona dan operasi kali akar. Pada artikel ini dikaji tentang dimensi metrik dominan pada graf operasi kali akar. Operasi kali akar pada graf dikenakan pada sebuah graf dan barisan graf. Misalkan adalah graf berordo dan dalah barisan graf, maka graf hasil operasi kali akar graf dan dinotasikan dengan Untuk mendukung hasil utama, pada artikel ini disajikan hasil penelitian sebelumnya, yaitu sifat dari representasi titik pada suatu himpunan terhadap himpunan itu sendiri dan sifat himpunan pembeda dominasi
Hasil utama penelitian yang disajikan pada artikel ini adalah dimensi metrik dominan graf operasi kali akar graf . Hasil awal yang disajikan adalah sifat jarak antar dua titik pada graf hasil operasi kali akar graf , untuk graf terubung dan sebarang barisan graf terhubung. Hasil utama adalah dimensi metrik dominan untuk barisan graf khusus. Hasil pertama dimensi metrik dominan untuk untuk barisan graf lintasan, yang kedua barisan graf siklus dan yang ketiga barisan graf bipartite lengkap.
Sebagai Kesimpulan, disajikan bahwa hasil menunjukkan bahwa dimensi metrik dominan dari graf hasil kali akar adalah jumlah dari dimensi metrik dominan graf dalam barisan . Dalam kasus barisan graf lengkap, graf bipartit lengkap, dan graf bintang dengan titik akar adalah titik ujung, hasilnya sama dengan kasus lainnya, tetapi dikurangi dengan ordo graf
Sebagai saran, penelitian dapat dilanjutkan dengan mempertimbangkan kelas graf lain dalam operasi kali akar, seperti graf grid atau graf Petersen. Lebih lanjut, pada artikel ini juga disajikan hasil yang lebih umum dalam bentuk konjektur.
Hasil secara detil dapat dilihat langsung pada artikel yang diterbitkan di Journal of Discrete Mathematical Sciences & Cryptography, Vol. 29 (2026), No. 6, pp. 2409–2420 yang dapat diakses pada link yang dituliskan di bagian bawah artikel ini. Artikel ini merupakan hasil kerja mahasiswa S2 Mmatematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.
Penulis: Prof. Dr. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
Artikel lengkap dengan judul:
“Dominant metric dimension of rooted product graph”
Dapat diakses melalui laman:
