Manusia sebagai makhluk sosial dan berakal, terus menuntut adanya perkembangan dalam sarana maupun prasarana untuk menujang semua aktifitasnya. Perkembangan ini diiringi dengan perkembangan berbagai bidang keilmuan, salah satunya bidang matematika. Peran matematika sangat besar dalam mencapai perkembangan sarana dan prasarana ini, yaitu dari aspek keoptimalan, efektif dan efisiennya. Oleh karena itu, mengembangkan konsep matematika untuk memenuhi tuntutan jaman sangat diperlukan. Salah satu konsep tersebut adalah teori graf.
Teori graf merupakan teori yang mengkaji suatu susunan yang terdiri atas titik dan garis, dimana garis menyatakan hubungan antar dua titik. Pada artikel ini dikaji tentang dimensi metrik sentral lokal pada graf. Dimensi metrik sentral lokal menyatakan kardinalitas minimal suatu himpunan titik pada graf, dimana himpunan tersebut memuat himpunan sentral dapat membedakan setiap dua titik yang berdekatan pada graf tersebut. Konsep ini merupakan gabungan antar himpunan titik sentral dan himpunan pembeda lokal. Titik sentral dan himpunan pembeda lokal adalah dua konsep yang berkaitan dengan jarak. Dengan demikian, dalam kehidupan nyata, konsep dimensi metrik sentral lokal dapat digunakan untuk mendukung pemerintah dalam memecahkan masalah manajemen transportasi yang melibatkan objek vital, seperti penempatan stasiun kereta api yang mudah diakses oleh masyarakat dan dapat mengenali dua lokasi yang berdekatan. Contoh lain adalah optimasi penempatan sentral kesehatan, air minum, fasilitas pendidikan, dan pos komando bencana. Berikut ini dijelaskan secara lebih rinci terkait dimensi metrik sentral lokal.
Misalkan adalah graf terhubung dengan himpunan titik
dan himpunan sisi
. Eksentrisitas titik
pada suatu graf
, yang dinotasikan dengan
, adalah jarak terjauh titik
terhadap ke semua titik lain pada
. Radius dari graf
adalah eksentrisitas terkecil dari semua titik di graf
dan diameter adalah eksentrisitas tertinggi dari semua titik di graf
. Titik dengan eksentrisitas minimum pada graf
disebut titik sentral graf
. Misalkan
merupakan himpunan terurut subset dari
, dengan kardinalitas
adalah
. Representasi titik
di
adalah pasangan terurut
elemen yang berisi jarak titik
ke titik-titik anggota
secara berturutan. Himpunan terurut
disebut himpunan pembeda lokal dari
jika setiap titik yang berdekatan (bertetangga) pada
mempunyai representasi yang berbeda terhadap
Himpunan pembeda sentral lokal adalah himpunan pembeda lokal sekaligus memuat himpunan sentral pada graf
. Himpunan pembedaan sentral lokal dengan kardinalitas minimum pada graf
disebut basis sentral lokal dari graf
dan kardinalaitasnya disebut dimensi metrik sentral lokal dari graf
yang dinotasikan dengan
Pada graf dikenal beberapa operasi, antara lain operasi perkalian, penjumlahan dan operasi korona. Operasi korona didefinisikan dengan lebih formal sebagai berikut. Misalkan dan
masing-masing adalah graf terhubung, maka graf hasil operasi korona graf
dan
dinotasikan dengan
Fokus penelitian yang disajikan pada artikel ini adalah dimensi metrik sentral lokal graf hasil operasi korona. Pada artikel ini disajikan hasil penelitian sebelumnya, yaitu sifat dari representasi titik pada suatu himpunan terhadap himpunan itu sendiri dan sifat himpunan pembeda lokal. Hasil penelitian terdahulu yang juga disajikan pada artikel ini adalah batas atas dan batas bawah dimensi metrik sentral lokal, serta karakterisasi dimensi metrik sentral lokal.
Hasil utama penelitian yang disajikan pada artikel ini adalah dimensi metrik sentral lokal graf operasi korona graf , untuk sebarang graf
dan
. Hasil dibagi dalam dua kasus, yaitu apakah titik
merupakan elemen basis sentral lokal pada
atau bukan. Untuk mendukung keterbacaan hasil artikel ini juga menyajikan contoh berupa gambar yang memudahkan pembaca dalam memahaminya.
Hasil secara detil dapat dilihat langsung pada artikel yang diterbitkan di jurnal Statistics, Optimization and Information Computing, sebagaimana yang dituliskan di bagian bawah artikel ini. Artikel ini merupakan hasil kerja mahasiswa S3 MIPA Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga, yang merupakan bagian dari persayaratan kelulusan mahasiswa.
Penulis: Prof. Dr. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si.
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
Artikel lengkap dengan judul:
“Some Properties of the Central Local Metric Dimension on Corona Product Graphs”
Dapat diakses melalui laman:
